الدرس الأول:مفهوم النهاية
افكار الدرس: النهاية باستخدام الجداول
النهاية باستخدام التمثيل البياني
ايجاد النهاية من خلال رسم جاهز
ايجاد قيمة مجهول اذا كانت النهاية غير موجوده أو موجوده اعتمادا على رسم جاهز
مـــــــقــــــــــــدمــــــــة
مفهوم اقتراب قيم (س) من عددا ما يكون من جهتين :
من جهة اليمين ومن جهة اليسار
اولا : نتعلم مفهوم اقتراب قيم س من عدد موجب
الاقتراب من اليمين الاقتراب من اليسار
ً
2.1 2.01 2.001 1.999 1.99 1.9
يقل العدد يزيد العدد
نقول:
س تقترب من العدد 2 من جهة اليمين بالرموز س 2
س تقترب من العدد 2من جهة اليسار بالرموز س 2
وبشكل عام
س تقترب من العدد 2 بالرموز س 2
ملحوظة :
ا : ذلك يعني جهة اليمين
ا: ذلك يعني جهة اليسار
+ا ذلك يعني بإن ااشارته موجبه
-ا: ذلك يعني بإن ااشارته سالبة
ثانيا: نتعلم مفهوم اقتراب قيم س من عدد سالب
الاقتراب من اليمين الاقتراب من اليسار
1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1
يقل العدد يزيد العدد
س -2 س - 2
ملحوظة: عندما ترى بالرموز س ا
ذلك يعني ان س ≠ ا
ثالثا: نتعلم مفهوم اقتراب قيم س من الصفر
الاقتراب من اليمين الاقتراب من اليسار
0.1 0.01 0.001 0.1 0.01 0.001
يقل العدد يزيد العدد
ملحوظة : يرمز للنهاية بالرمز نهـــــــا
وهي تشير الى مفهوم الاقتراب من عدد ما
الخطوات:
1) نرسم خط الاعداد ونعين علية في المنتصف قيمة س التي نريد ايجاد النهاية عندها ونعين القيم من اليمين والقيم من اليسار كما مر معنا سابقا.
2) نرسم جدول مكون من ثمانية أعمدة وصفين في العمود الخامس نضع العدد الذي نريد ايجاد النهاية عنده وباقي قيم س نفس خطوة 1
3) بالتعويض والاستنتاج نجد قيم ق(س)
4) قد تكون النهاية موجوده أو غير موجوده
لذلك نأخذ النظرية التالية:
اذا كانت
نهــــــــــــــــــــاق(س)=نهــــــــاق(س)= ل , ل ح
س ا س ا
فإن نهــــــــــــــــــــاق(س)=ل موجوده
س ا
أما اذا كانت :
نه س :؛ أ؛ عع؛ظ ق[س]≠ نه س :؛ أ؛ -؛ظق[س]
فإن نه س :؛أ؛ ؛ظ ق[س] غير موجوده
1) ق(س)=س+1 , س -3
2) ه[س]=3س+2
جد نه س :؛ ثث؛ظ ه[س]
3) ق(س)= س
جد نه س :ظق[س]
4) ه(س)=س@-1
س-1
جد نه س : ؛ بز ؛ظ ه[س]
5) ق(س)=4-س@
س-2
جد نه س :؛ ثث؛ظ ق[س]
6) ه[س]= 1
س-2
جد نه س :؛ ثث؛ظ ه[س]
7) ق(س)=2س×، ! ً ٌ ‘
جد نه س :؛ صظ ظ ق[س]
الجزء الثاني: ايجاد النهاية باستخدام التمثيل البياني(الرسم)
الخطوات:
1) نرسم الاقتران على المستوى البياني
2) على محور السينات نعين س=ا وعلى محور الصادات نعين ق( ا )=ب
3) نختار عدد مرة على يمين العدد ا ومرة على يسار العدد ا بحيث يكون قريب جدا من ا بخطوط متقطعه ونرى ما هي صور هذه الاعداد فإن كانت قريبة من ب تكون النهاية موجودة وان كانت بعيدة الصور عن بعضها تكون النهاية غير موجوده
مثال(2): جد النهاية لكل من الاقترانات التالية ازاء قيمة س المعطاة باستخدام التمثيل البياني(الرسم):
1) ق(س)=س+1 , س -3
2) ق(س)= س
جد نه س : ؛ بزظ ق[س]
3) ه(س)= س@-1
س-1
جد نه س : ؛ بز ؛ظ ه[س]
4) ه[س]= 1
س-2
جد نه س :؛ ثث؛ظ ه[س]
الجزء الثالث: ايجاد النهاية من خلال رسم جاهز
(اعتمد على الصور المرفقة للنظر للاشكال)
مثال(3): اعتمد على الاشكال التالية في ايجاد النهاية المبينة إزاء كل منها:
1) جد:
أ) نه س :؛ ثث؛ظ ه[س]
ب) نه س : ؛ بز ؛ظ ه[س]
ج) نه س :؛ صظ ظ ه[س] د) هـ(0)
2) جد:
أ) نه س :؛ ثث؛ظ ق[س]
ب) ق(2)
3) جد:
أ) نه س :؛ ثث؛ظ ق[س]
ب) ق(2)
7) نه س :؛ ثث؛ظ ل[س]
8) أ) نه س :؛ ثث؛ عع؛ظ ق[س]
ب) نه س :؛؛ ثث -؛ظق[س]
جـ) نه س :؛ ثث؛ ؛ظ ق[س]
10) جد:
أ) نه س :؛ صظ ععظ ل[س]
ب) نه ؛ : صظ -؛ ظ ل[س]
ج] نه س: صظ ظ ل [س]
د] نه س : آبزظ ل [س]
ه] نه س :؛ بز ظ ل[س]
11) أ) نه س: صظ ظ ق[س]
ب] نه س :؛؛ ثث -؛ظق[س]
ج) نه س : آبزظ ق [س]
د] نه س :؛ بز ظ ق[س]
9) جد:
أ) نه س :؛ ثث؛ظ ك[س]
ب) نه س : ؛ بز ؛ظك[س]
ج] نه س : آبزظ ك [س]
د] نه س : آبزظ ك [س]
ه] نه س :؛ صظ ظ ك[س]
12) جد:
أ) نه س :؛ سلإ؛ عع؛ظ ق[س]
ب) نه س :؛ سلإ -؛ظق[س]
جـ) نه س : ؛ صظ ؛ ؛ظ ق[س]
د) نه س :؛لج؛ ثث؛ظق(س)
هـ) نه س :؛لج؛ صض؛؛ عع؛ظ ق(س)
و) نه س :؛لج؛ صض؛؛ ؛-؛ظق(س)
ز) نه س : ؛ صظ ؛ بز ؛ظ ق[س]
13) معتمدا على الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران :
ق(س)= ؟س+4"
جد :
أ) ما مجال الاقتران ق(س)
ب) نه س :؛لج خخ؛؛ عع؛ظ ق(س)
جـ) نه س :؛لج؛ خخ؛؛ ؛-؛ظق(س)
د) نه س :؛لج؛ خخ؛؛ ؛؛ظق(س)
هـ) نه س : ؛ صظ ؛ ؛ظ ق[س]
الجزء الرابع: ايجاد قيمة مجهول اذا كانت النهاية غير موجوده أو موجوده اعتمادا على رسم جاهز
اولا: ايجاد قيمة مجهول اذا كانت النهاية غير موجوده
ملحوظة:
تكون النهاية غير موجودة في الحالات التالية :
1) عند اطراف الفترات
2) اذا كانت النهاية من اليمين ≠النهاية من اليسار
3) خارج المجال
مثال(4): اعتمد على الاشكال التالية في ايجاد قيمةالمجهولاو مجموعة قيم المجهول اذا كانت النهاية غير موجودة:
1) معتمدا على الشكل المجاور الذي يمثل ع(س), جد مجموعة قيم كحيث :
نه س :؛ سلا ؛ظع(س) غير موجودة
3) معتمدا الشكل المجاور الذي يمثل ق(س) المعرف على ح
فإن مجموعة قيم ا بحيث:
نه س :؛ نق ؛ظق(س) غير موجودة
أ) 0 , 1, 3
ب) 1, 3 ,4
جـ) 0, 1, 3, 4
د) 1, 3
4) معتمدا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران ق المعرف على الفترة س ح
جد مجموعة قيم ا بحيث أن:
نه س :؛ نق ؛ظق(س) غير موجودة
5) معتمدا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران ق المعرف على ح
جد مجموعة قيم ا بحيث أن:
نه س :؛ نق ؛ظق(س) غير موجودة
2) معتمدا الشكل المجاور الذي يمثل ع(س
جد مجموعة قيم ا:
نه س :؛ نق ؛ظع(س) غير موجودة
) معتمدا الشكل المجاور الذي يمثل ق(س) المعرف على ح
فإن مجموعة قيم ل بحيث:
نه س :؛ لل ؛ظق(س) غير موجودة
أ) 0, 1, 3
ب) 0, 1
جـ) 3
د) 1
7) معتمدا الشكل المجاور الذي يمثل ق(س) المعرف على ح
فإن مجموعة قيم ل بحيث:
نه س :؛ لل ؛ظق(س)
غير موجودة
أ) -1
ب) 2
جـ) -1, 2
د) -1 , 0, 2
8) معتمدا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى الاقتران ق المعرف على ح
جد مجموعة قيم ا بحيث أن:
نه س :؛ نق ؛ظق(س) غير موجودة
ثانيا: ايجاد قيمة مجهول اذا كانت النهاية موجوده وتساوي عدد ما
ملحوظة:
اذا كانت النهاية تساوي عدد ما فإن هذا العدد يمثل محور ص (أي انه يقع على محور ص) فلذلك نرسم خط أفقي يوازي السينات ويقطع ص عند ذلك العدد وتكون قيمة أو قيم المجهول هي تقاطع الخط مع المنحنى وتكون قيم س التابعةلذلك التقاطع هي قيم المجهول نستثني من ذلك التقاطع في نقطة وحيدة أوتقاطع من جهةواحدة وقد تكون قيم المجهول اعداد او فترات) أهم شي النهاية من اليمين = اليسار
مثال(5): اعتمد على الاشكال التالية في ايجاد قيمةالمجهولاو مجموعة قيم المجهول اذا كانت النهاية موجودة:
1) معتمدا على الشكل المجاور الذي يمثل الاقتران ع جد كل مما يلي:
أ) مجموعة قيم ا حيث:
نه س :؛ نق ؛ظع(س) =1
ب) مجموعة قيم ج حيث:
نه س :؛ <؛ عع؛ظع(س)=1
جـ) مجموعة قيم ل حيث:
نه س :؛ لل ؛ظع(س) =0
2)معتمدا على الشكل المجاور الذي يمثل الاقتران ق المعرف على ح ,فجد مجموعة قيم ا
, حيث نه س :؛ نق ؛ظق(س) =0
3) اذا كان الشكل المجاور يمثل منحنى الاقتران ق المعرف على ح ,فإن مجموعة قيم ا , بحيث تكون :
نه س :؛ أ؛ عع؛ظق(س)=3 هي:
أ) 1
ب) 1, -2
جـ) 0 , 1
د) 1, 0, -2
4) اذا كان الشكل المجاور يمثل منحنى الاقتران ق المعرف على ح ,فإن مجموعة قيم ا , بحيث تكون :
نه س :؛ أ؛ ؛ظق(س)=3 هي:
أ) (- , 0] 2
ب) (- , 0) 2
جـ) (- , 0) 2 , 4
د) (- , 0] 2 , 4
اذا كان الشكل المجاور يمثل منحنى الاقتران ق(س) المعرف على [ -2, 2]
فإن مجموعة جميع قيم ا
حيث نه س :؛ أ؛ -؛ظق(س)= صفر هي:
أ) -2, 0 ب) 0,2
جـ) -2, 0, 2 د) 0
6) معتمدا على الشكل اعلاه الذي يمثل الاقتران ق المعرف على ح ,فجد مجموعة قيم ا
, حيث نه س :؛ نق ؛ظق(س) =1
أ)(1 ,2] ب) [1, 2] 0 ج) (1 ,2)
د) (1, 2] 0
7) معتمدا على الشكل اعلاه الذي يمثل الاقتران ق المعرف على ح ,فجد مجموعة قيم ا
, حيث نه س :؛ نق ؛ظق(س) =1
8) معتمدا على الشكل المجاور الذي يمثل الاقتران ق المعرف على ح ,فجد مجموعة قيم س1
, حيث نه س :؛ س بز ؛ظق(س) =1
أ) (-1 , 1 )
ب)[ -1 ,1)
جـ) [-1 ,1) 2
د) (-1, 1] 2
9) معتمدا على الشكل الذي يمثل الاقتران ق المعرف على ح , أجب عما يلي:
أ) اذا كانت نه س :؛ نق ؛ظق(س) =2
جد قيم الثابت ا
ب))اذا كانت نه س :؛ لل ؛ظق(س) غير موجودة
جد قيم الثابت ل
